MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos. Para entender qué es el Mínimo Común Múltiplo debemos definir cada uno de los términos que lo componen: Qué es un "múltiplo común"? Si tienes dos (o más) números, y al comparar sus múltiplos encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 6) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas: Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44, 48... Los múltiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48... Mira qué números aparecen en las dos listas. Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 6 son: 12, 24, 36, 48, etc. ¿Qué es el "mínimo común múltiplo"? Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 12, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. ¿Qué es un "múltiplo"? Es cada uno de los valores que obtienes cuando multiplicas un número por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,...) como en las tablas de multiplicar. 

 Ejemplo: 

Los múltiplos de 8 son 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, etc... 

Los múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, 42, etc... 

Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y al comparar sus múltiplos encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 6) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44, 48...

Los múltiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48...

Mira qué números aparecen en las dos listas. Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 6 son: 12, 24, 36, 48, etc.

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 12, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.

Cálculo  del mínimo común múltiplo (m.c.m)

Existen dos formas de hacerlo.

1) Por descomposición en factores primos:

Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo, el mcm de 72 y 50 será:

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

1a) También podemos calcularlo, poniendo uno junto al otro los números, y empezamos a descomponerlos simultáneamente. En este caso, el mcm será el producto de los factores comunes y no comunes que obtuvimos.

Ejemplo:

hallar el mcm de 2, 3, 6 y 15.

1b) Un método alternativo adicional es calculando el máximo común divisor.

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Tomando el mismo ejemplo de arriba, calculemos el valor del mcm de 72 y 50.

Sabemos que el mcd de 72 y 50 es 2 (es el único divisor común que tienen ambos números). 

Sabemos también que (72) ()50) = 3600, entonces:

2. Método largo para calcular el mcm:

 Escribimos los múltiplos de los números hasta que encontremos uno que coincida.

 Ejemplo:

Calcular el mcm de 12 y 18.

 Propiedades básicas:

 1.Si a es un entero, entonces [a, a] = a 

 2.Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a. 

 3. (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos. 

 4. [a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1 

 5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.

 6. [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1 

 7. [a,b,c]= [[a,b], [b,c]] 

 8. [a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0

 9. [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)

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